Pythagoras - Wunderwelt der Mathematik

Satz von Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck

als Basis einer Skizze, bzw. der nachfolgenden Überlegung

soll der rechte Winkel im Punkt C liegen,

also ein Dreieck, Spitze mit dem rechten Winkel oben,

links der Punkt A, rechts der Punkt B und oben der Punkt C,

entsprechend gelten die Bezeichnungen für die Seite:

links Seite b, rechts Seite a und unten Seite c)

heißen die Seiten a und b

( die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, die Seiten, die die Schenkel des rechten Winkels bilden)

Katheten

und heißt

die Seite c

(die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt)

Hypotenuse.

Dazu gilt der Satz des Pythagoras:

a ²+ b ²= c ²

Das heißt:

Die Summe der beiden Quadrat-Flächen

mit jeweils einer Kathete als Seitenlänge

ist gleich

der Quadrat-Fläche

mit der Hypotenuse als Seitenlänge.

Mit dieser Formel lassen sich fehlende Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Je zwei Seiten müssen gegeben sein, um die dritte Seite auszurechenen:

a und b gegeben / c gesucht

a ²+ b ²= c ²

einsetzen, Quadrat auflösen, addieren, Wurzel ziehen

Beispiel a = 3 / b = 4

einsetzen: 3² + 4 ² = c²

Quadrat auflösen

9 + 16 = c²

addieren

25 = c²

Wurzel ziehen

5 = c

a und c gegeben / b gesucht

a ²+ b ²= c ²

nach b auflösen

(auf beiden Seiten des = - a²)

b² = c² - a²

einsetzen, Quadrat auflösen, subtrahieren, Wurzel ziehen

b und c gegeben / a gesucht

a ²+ b ²= c ²

nach a auflösen

(auf beiden Seiten des = - b²)

a² = c² - b²

einsetzen, Quadrat auflösen, subtrahieren, Wurzel ziehen

Aufgaben:

Aufgabe 1:

Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a² + b² = c² bekannt.  Fülle bitte die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.

In einem ­­________________ Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse ist die Seite, die _________________________________________________.
Die beiden Katheten sind die Seiten, die___________________________________________.
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a² + b² = c². Zusammengefasst bedeutet das:
In einem _______________________ Dreieck gilt:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Aufgabe 2:

Ein Zimmer im 5. Stock eines Hauses brennt. Ein Mann ist eingeschlossen und muss von der gerettet werden. Der Abstand des Fensters vom Erdboden beträgt 14 Meter. Die Retter müssen ihre Leiter etwa 18,80 Meter ausfahren, damit sie an den Mann herankommen können. In welchem Abstand zur Hauswand stellen sie die Leiter auf?

Fertige eine Skizze an!

Aufgabe 3:

Ein Teppichleger will nachprüfen, ob der Raumboden rechtwinklig ist. Er misst die Länge mit 5,10 m , die Breite mit 3,60 m und die Diagonale mit 6,24 m. Zu welchem Ergebnis kommt er?

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Lösungen:

Aufgabe 1:

In einem ­­rechtwinkligen Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Die beiden Katheten sind die Seiten, die dem rechten Winkel anliegen.
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a² + b² = c². Zusammengefasst bedeutet das:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Aufgabe 2:

    a² + b² = c²

   Hier ist a = 14 m und c = 18,8 m

   und c ist gesucht

  (Tipp: Dreieck mit einer Farbe einzeichen,

   Skizze/Blatt drehen und die Dreiecksseiten

   entsprechend eintragen, dann wird es

   deutlich!)

Somit gilt dann:

a und c gegeben / b gesucht

a ²+ b ²= c ²

nach b auflösen

(auf beiden Seiten des = - a²)

b² = c² - a²

einsetzen, Quadrat auflösen, subtrahieren, Wurzel ziehen

b² = (18,80 m)² - (14 m)²

b² = 353,44 m² - 196 m²

b² = 157,44 m²

b = 12,55 m

Aufgabe 3:

Wenn der Raumboden rechtwinklig ist, (rechter Winkel in den Ecken)

muß der Satz des Pythagoras gelten:

a² + b² = c²     (a Länge / B Breite / c Diagonale)

a² + b²             = c²

5,10² + 3,6²      =  6,24²

26,01 + 12,96   = 38,94

38,97                = 38,94            = fast rechtwinklig, kleine Abweichung

Aufgabe 4: (Lösung kann beim Autor angefordert werden, Tipp: Achtung, kleine Falle!)

Vom Erdboden bis zum ersten Ast einer Tanne misst der Waldarbeiter 1,82 m. Von hier ab sollen drei Seile zum Erdboden gespannt werden, die in einem Abstand zum Stamm von jeweils 1,20 m am Boden befestigt werden. Wie viel Meter Seil muss der Waldarbeiter einsetzen?

Fertige eine Skizze an!

Viel Spaß, viel Erfolg

starliner

Nachhilfe-Oberberg