Um die geometrische Sichtweite zu berechnen, verwenden wir den Satz den Pythagoras, den einige sicher noch aus der Schule kennen. Der Satz besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken gilt: Die Katheten zum Quadrat sind gleich der Hypotenuse zum Quadrat.

Als Formel ausgedrückt gilt a2 + b2 = c2, wobei a und b für - wie im Bild gezeigt - die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten - also die Katheten - sind und c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, darstellt.

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Die geometrische Sichtweite in Formeln


Betrachten wir nun die Erdkugel wie im Bild links:

Dort ist der Radius der Erde mit R bezeichnet. Der Radius bzw. der Abstand vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche ist auf einer idealisierten Kugel immer gleich. Auf der Erde sind dies im Mittel 6.370 km. Geschickterweise bilden die Gerade S und der Abstand R immer einen rechten rechten Winkel - egal wie groß h ist.

Daraus ergbit sich für die geometrische Sichtweite folgende Formel:

(1) s2 + R2 = (R + h)2

(2) s2 = (R + h)2  - R2

                       Bildquelle: Wikipedia, Urheber: Ulamm

Nun zur Auflösung und einigen Beispielen aus der Praxis

Nehmen wir an, wir stehen am Strand und Blicken zum Horizont des Meeres. Bei einer Augenhöhe von 1,80 m ergibt sich für die geometrische Sichtweite:

s2 = (R + h)2  - R2

s2 = (6370000 + 1.80)2  - 63700002

s2 = 40576922932003.24  - 40576900000000

s2 = 22932003.24

Davon die Wurzel ergibt 4788.737, d.h. man kann ein bisschen weniger als 5 km weit blicken bzw. der Horizont ist etwas weniger als 5 km entfernt. Wenn man also vom Strand aus den Schornstein eines 25 Meter hohen Frachters entdeckt, ist das Schiff noch 20 Kilometer entfernt.

Es macht dabei keinen großen Unterschied, ob man nun am Strand steht oder im Strandkorb sitzt: Im Strandkorb sieht man bei einer angenommenen Augenhöhe von 1,25 Metern etwa 4,30 Kilometer weit. Blickt man hingegen aus 10.000 Meter Höhe auf die Erde, dann sind es bis zum Horizont erstaunliche 384,2 Kilometer.

Wirklich erstaunlich - Zwei verblüffende Rätselfragen!

Wieder gehen wir davon aus, dass die Erde eine ideale Kugel ist mit R = 6370 km. Nun spannen wir um diese Kugel ein eng anliegendes Band und verlängern danach dieses Band um einen Meter. Wie groß ist nun der Abstand des verlängerten Bandes zur Erdoberfläche? Was schätzt Ihr?

Und wie schaut's aus, wenn man ein Band um einen Tennisball legt und dieses wiederum um einen 1 Meter verlängert Wie hoch liegt das Band über der Oberfläche des Tenniballs? Die Antwort ist auch hier verblüffend...

Lösung zu Frage 1

Wir beginnen mit dem Formalismus. Die Formel zur Berechnung des Umfangs lautet:

U = 2 * PI * R

Für den Erdumfang ergibt sich damit:

U = 2 * 3.1415 * 6730000 m = 422845900 m

Nun bestimmen wir den neuen Radius. Durch die Verlängerung von U um einen Meter ergibt sich:

R = U / ( 2 * PI) = 422845901 m / ( 2 * 6.283) = 67300000.15915

Bildet man nun die Differenz zwischen den beiden Radien, so erhält man:

D = 67300000.15915 - 67300000 = 0.159

Das heißt das Band liegt nach der Verlängerung etwa 16 Zentimeter über der Oberfläche.

Lösung zu Frage 2

Auch hier ist die Antwort verblüffend: Der Abstand beträgt - genau wie bei der Erdkugel - 16 cm. Es ist also egal, um welchen kugelförmigen Körper man das Band legt. Nach Verlängerung um 1 m verändert sich der Abstand zur Oberfläche stets um den gleichen Betrag. Dies kann sehr leicht gezeigt werden:

D = R2 - R1 = U2 / (2 * PI) - U1 / (2 * PI) = (U2 - U1) / (2 * PI)

= 1 m / (2 * PI) = 1 m / (2*3.14159265) m = 0.159 m

Das Ergebnis ist also immer unabhängig von Radius und Umfang!

Und wenn man auf dem Boden liegt - Wie weit kann man dann schauen?

Nehmen wir an, der Abstand der Augen zum Boden beträgt 20 cm, dann ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras folgende Berechnung:

s2 = (R + h)2R2

s2 = (6370000 + 0.2)263700002

s2 =  40576902548000.04 - 40576900000000

s2 = 2548000.04

Davon die Wurzel ergibt 1596.24, d.h. man kann fast 1.6 km weit blicken.

Wie weit ist die Sicht vom höchsten Punkte der Erde - dem Mount Everest?

Mit den oben genannten Formeln beträgt die Sichtweite vom Mount Everest aus ca. 360 Kilometer wenn man von einer Höhe von 8848 Meter ausgeht und die Sicht klar ist. Ich habe mich immer gefragt, welche weiteren 8000er vom Mount Everest zu sehen sind. K2, Broad Peak, Gasherbrum I, Gasherbrum II und Nanga Parbat kommen nicht in die Frage, da diese definitiv zu weit entfernt sind. So beträgt die Distanz zwischen Mount Everest und K2 bereits 1315,77 km. Diese Entfernung entspricht der Dominanz des K2.

Mögliche Kandidaten wären damit nur noch Kangchenjunga, Lhotse, Makalu, Cho Oyu, Dhaulagiri I, Manaslu, Annapurna I und die Shisha Pangma. Jetzt gilt es zu klären, ob diese 8000er auch wirklich alle zu sehen sind, oder nicht durch andere hohe Berge verdeckt sind. Sicher sieht man auf jeden Fall den 8586 m hohe Kangchenjunga, den Lhotse mit 8516 m, den Makalu mit 8485 m, den Cho Oyu mit 8188 m, den Manaslu mit 8163 m und die Shisha Pangma mit 8027 m. Ebenfalls sichtbar ist der 15. höchste Berg der Welt, der Gyachung Kang mit 7952 Meter. Bleibt nur noch zu klären, ob Dhaulagiri und die Annapurna I zu sehen sind - aber diese könnten vom Manaslu verdeckt sein. Gibt es einen anderen Berg, von dem aus mehr als 6 Achttausender zu sehen sind? Wer weiß Bescheid?

Hilfreich ist evtl. eine Karte mit allen 8000ern, die mit maps-for-free erstellt wurde, oder die Gipfelpanoramen von Himalaya-Info.

Entfernungstabelle

Zum Schluss gibt es noch eine kleine Übersichtstabelle, aus der man auf Anhieb erkennen kann, wie weit ein Mensch bei verschiedenen Augenhöhen blicken kann.

Augenhöhe 2 m 5 m 10 m 20 m 50 m 100 m 200 m 400 m 600 m
Sichtweite 5,4 km 8,6 km 12,1 km 17,0 km 27,0 km 38,3 km 55,0 km 77,0 km 94,0 km

 

Augenhöhe 800 m 1000 m 2000 m 3000 m 4000 m 8000 m 9000 m
Sichtweite 114,8 km 121,0 km 171,1 km 209,6 km 242,0 km 342,3 km 363,0 km
Hans, am 31.01.2012
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Bildquelle:
johannes flörsch (Wie finde ich die Sternschnuppen der Perseiden 2016?)
Karin Scherbart (Wie macht man einen Regenbogen selbst?)

Autor seit 7 Jahren
59 Seiten
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