Bruchrechnen ist einfach

Dieser Problematik versucht man mit einem angeblich kindgerechten Vorgehen entgegen zu wirken und verursacht damit im Grunde alle Probleme, die mit dem Bruchrechnen in Verbindung stehen.

Ich bezeichne dieses Vorgehen als "Kinderverwirrspiel". Sicherlich kennen Sie die netten Bildchen. Da wurde eine Tafel Schokolade in zwei Hälften gebrochen, um ½ darzustellen. Oder man zerbrach sie in 3 Teile, um 1/3 darzustellen. Daneben gab es noch die Torte, die man in 8 Teile zerschnitt, um 1/8 darzustellen. Das ist alles für die Vorstellung wunderbar, nur endet dies spätestens dann, wenn das Kind vor der Aufgabe steht: 1/3 + 1/7 addieren zu müssen.

Dann ist die Vorstellung des Kindes schlicht und einfach überfordert. Es fällt auch uns Erwachsenen schwer, hier eine Vorstellung zu bilden. Meiner Ansicht nach wäre es auch für das Kind einfacher, wenn man ihm beibringen könnte:

Eine Bruchzahl ist nur eine andere Schreibweise für eine "Geteiltaufgabe" auch Division genannt. Dann braucht sich das Kind keine Vorstellung mehr zu machen.

1/3 ersetzt dann den unendlichen Dezimalbruch 1: 3 = 0,33333333333333…

Das Kind wird auch leicht einsehen, dass 1/3 doch viel übersichtlicher ist, als dieser unendliche Dezimalbruch. Die Rechenergebnisse werden übersichtlicher und – wenn auch nur schwer feststellbar – genauer, denn in der Dezimalschreibweise muss man in der Praxis irgendwo aufhören und runden und erhält damit nur ein Näherungsergebnis, während die Bruchzahl ein exaktes Ergebnis darstellt.

Zerlegung in Primfaktoren

Zuerst sollten die Kinder Gespür dafür entwickeln, wie die Zahlen zusammenpassen.

Eine sehr gute Übung ist dabei die Zerlegung in Primfaktoren.

Als Beispiel nehme ich einmal die 6.

Diese kann man als eine Malaufgabe niederschreiben: 2 x 3

Beide Zahlen sind sogenannte Primzahlen, Zahlen, die sich nur durch 1 oder sich selbst teilen lassen.

Ehe man also intensiver in das Bruchrechnen einsteigt, sollte man diese Zerlegung in Primfaktoren üben; es schärft nämlich den Blick dafür, welche Zahlen etwas miteinander zu tun haben könnten.

9 = 3 x 3

24 = 3 x 2 x 2 x 2

Das muss man nicht so untereinanderschreiben, ich mache das nur, damit das worauf es ankommt, sofort in's Auge springt.

Jetzt wird man sich natürlich fragen, was der Nutzen aus einer solchen Übung sein kann.

Anwendung der Primfaktorenzerlegung auf Addition und Subtraktion

Bei der Addition und Subtraktion müssen die Bruchzahlen den gleichen Nenner (= Hauptnenner) haben – oder verständlicher ausgedrückt, unter dem Bruchstrich muss die gleiche Zahl stehen, sonst gehen beide Rechenoperationen nicht.

Bei der Aufgabe:

1/3 + 1/2 ist das Ganze noch relativ einfach; unter dem Bruchstrich muss eine 6 stehen.

Aber wie kommt man da hin?

1/3 + 1/2 ₌

Um diese beiden Zahlen addieren zu können, brauche ich die gleiche Zahl unter dem Bruchstrich, es muss sich dabei um eine Zahl handeln, die sich sowohl durch 3 als auch durch 2 teilen lässt.

Eine solche Zahl ist die 6.

Wie komme ich nun von der 3 zur 6? Ich muss 3 mit 2 malnehmen!

Wie komme ich nun von der 2 zur 6? Ich muss 2 mit 3 malnehmen!

In einem Zwischenschritt – wohlgemerkt, was Sie jetzt in der nächsten Zeile lesen ist falsch – die Arbeit ist aber noch nicht abgeschlossen!

1/3x2 + 1/2x3

Damit wurden jedoch die Ausgangszahlen verändert, was nicht sein darf, deswegen muss im nächsten Schritt auch die Zahl über dem Bruchstrich (Zähler) in der gleichen Weise verändert werden, wie die Zahl unter dem Bruchstrich. Nach diesem Schritt sieht die Sache dann so aus:

1x2/2x3 + 1x3/2x3 =

Da ich sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl malgenommen habe, hat sich am Wert der Bruchzahl nichts verändert, sondern nur deren Aussehen. Diesen Vorgang nennt man Gleichnamigmachen!

Im Ergebnis sieht das nun so aus:

2/6 + 3/6 = 5/6

Wenn man Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert, nennt man das Erweitern. Das Gegenteil, das ich auch noch demonstrieren werde, nennt man das Kürzen.

Was aber soll nun die geübte Zerlegung in Primfaktoren für einen Nutzen bringen.

Ich gebe dazu mal ein Beispiel, folgende Bruchzahlen sollen addiert werden:

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/12 + 1/15 =

Man kann sich die Sache jetzt ganz einfach machen und sagen, der gemeinsame Nenner besteht aus: 2 x 3 x 5 x 12 x 15 =

Jeden Zähler nehme ich mit den anderen Nennern mal.

Zunächst einmal erhalte ich einen doch sehr großen und unübersichtlichen Nenner, Hauptnenner genannt, nämlich: 5 400

Beherrscht das Kind jedoch (Übung erforderlich) die Zerlegung in Primfaktoren, dann geht es wie folgt vor:

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

5 = 1 x 5

12 = 2 x 2 x 3

15 = 3 x 5

Ich habe dies bewusst so verschoben dargestellt, damit man die Angelegenheit besser im Blick hat.

In 12 ist die 2 zweimal enthalten, man braucht also für den Hauptnennner nur die 2x2 aus der 12; die 3 von 3 und die 3 von 12 sind in der 3 von 15 enthalten. Folglich braucht man die beiden für den Hauptnenner nicht. Die 5 von 5 ist auch in der 15 enthalten und wird für den Hauptnenner auch nicht gebraucht.

Fassen wir zusammen:

Das Kind braucht für den Hauptnenner: 2x2 (=4) und 3x5 (15)

Somit ergibt sich als gemeinsamer Nenner: 4 x 15 = 60.

Der Fachmann nennt so etwas das "kleinste gemeinsame Vielfache"

Ich denke, Sie werden mir zustimmen, mit 60 als Nenner ist doch einfacher zu rechnen als mit

5 400 als Nenner.

Kehren wir zur Ausgangsaufgabe zurück:

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/12 + 1/15 =

2 geht 30 mal in 60, also muss ich die 1 mit 30 malnehmen: 30/60

3 geht 20 mal in 60, also muss ich die 1 mit 20 malnehmen: 20/60

5 geht 12 mal in 60, also muss ich die 1 mit 12 malnehmen: 12/60

12 geht 5 mal in 60, also muss ich die 1 mit 5 malnehmen: 5/60

15 geht 4 mal in 60, also muss ich die 1 mit 4 malnehmen: 4/60

Jetzt lautet die Aufgabe:

30/60 + 20/60 + 12/60 + 5/60 + 4/60 = 71/60

Dass man daraus noch eine gemischte Zahl machen kann, weil 60/60 je 1 Ganzes ist, soll nur beiläufig erwähnt werden. Das Ergebnis sähe also dann ganz anschaulich aus: 1 11/60

Können Sie sich vorstellen, mit welch riesigen Zahlen gerechnet werden muss, wenn man die Zerlegung in Primfaktoren und die Bildung des "kleinsten gemeinsamen Nenners" nicht genügend geübt hat.

Minusaufgaben werden auch so durchgeführt.

Was ist Kürzen? 

Verständlich ausgedrückt, ich mach die Zahlen kleiner und damit übersichtlicher.

Auch dabei hilft die Zerlegung in Primfaktoren.

12/15

12 = 2 x 2 x 3

15 = 3 x 5

Schreiben wir das Ganze jetzt mal einfach auf den Bruchstrich:

2x2x3/3x5

Was über und unter dem Bruchstrich gleich ist, lass ich, wenn es mit x verbunden ist, einfach weg.

2x2/5

Jetzt muss das Kind nur noch eine einfache Rechnung machen und statt 12/15 stehen nun 4/5 da, die meines Erachtens wesentlich übersichtlicher sind, als die 12/15.

Kürzen ist eigentlich keine Rechenoperation, sondern dient nur dazu, die Zahlen übersichtlicher zu machen.

Da Schüler dazu neigen, gleiche Zahlen oben und unten wegzulassen, auch wenn diese durch + oder – miteinander verbunden sind, sollte man sich vielleicht folgende "Eselsbrücke" merken.

Mir war diese sehr hilfreich.

"Aus Differenzen und aus Summen kürzen nur die Dummen!"

Beispiel für diesen Fehler:

3+5/ 3x5

Eine solche Situation ist natürlich sehr verlockend, die 3 steht oben und unten auch die 5 steht oben und unten. Da bietet sich das Kürzen doch geradezu an.

Da aber in einer Bruchzahl keine 0 vorkommt, muss immer mindestens eine " 1" stehen bleiben.

Es würde zu folgendem (falschen) Ergebnis kommen: 1/1; richtig wäre aber 8/15.

Also immer an die Eselsbrücke denken!

Multiplikation mit Brüchen

Im Unterricht macht man es den Kindern meiner Meinung nach unnötig schwer, in dem man danach differenziert, ob die Bruchzahl mit einer ganzen Zahl oder mit einer Bruchzahl multipliziert werden soll.

Ich halte ein einheitliches Vorgehen für sinnvoller und rege deshalb an, die ganzen Zahlen in eine Bruchzahl umzuwandeln, also statt 3 den Bruch 3/1 zu schreiben.

Wissenschaftler haben sich viele Gedanken darüber gemacht, welchen sprachlichen Rahmen man der Aufgabe 1/2 x 1/3 geben soll.

Nimm 1/2 von 1/3 macht als Auftrag wenig Sinn, denn ich kann etwas nur ganz oder gar nicht anfassen. Dieser sprachliche Auftrag führt somit in die Irre.

Besser und damit verständlicher wird es, wenn man einfach den Auftrag gibt:

Wieviel ist denn 1/2 von 1/3 (Wieviel ist die Hälfte von 1/3?)

Aber ich denke man sollte sich über die beste sprachliche Formulierung weniger Gedanken machen, sondern einfach sagen, dass man die Bruchzahl 1: 1/2 einfach mit der Bruchzahl 2: 1/3 malnehmen soll.

Die Regel hierfür ist ganz einfach:

1x1/ 2x3 =

Das ist ganz schnell ausgerechnet:

1 x 1 = 1 und 2 x 3 = 6

Das Ergebnis ist dann 1/6.

Und damit hat man schon die wichtigste Regel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Wenn ich also eine ganze Zahl wie z.B. die 3 in 3/1 umwandle, brauche ich mir keine weitere Regel zu merken, denn auch hier gilt: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Dividieren durch Bruchzahlen

1/2: 1/3

Hier möchte ich – aber nur um die Rechenregeln abzuleiten – einen ungewöhnlichen Weg gehen.

Die Frage heißt nämlich, wie oft geht 1/3 in 1/2 hinein.

Zu diesem Zweck – wohlgemerkt diesen Weg geht man üblicher Weise nicht –

machen wir diese beiden Brüche gleichnamig.

3/6: 2/6 =

Nun heißt die Frage: Wie oft gehen 2/6 in 3/6.

Man könnte die Aufgabe nun auch wie folgt schreiben:

Über dem Bruchstrich (Zähler) 3: 2

Unter dem Bruchstrich (Nenner): 6:6

6: 6 = 1.

1 signalisiert aber immer eine ganze Zahl. Ich kann also problemlos den Bruchstrich jetzt weglassen und es steht nur noch folgendes da: 3:2

Schreibe ich dies jetzt als Bruchzahl: 3/2 habe ich das gesuchte Ergebnis.

3/2

Die Ausgangsaufgabe lautete:

1/2: 1/3 =

Das Ergebnis lautete: 3/2.

Jetzt erkennt man auch die Regel sofort: "Die zweite Bruchzahl wird gestürzt (auf den Kopf gestellt: Der Zähler wird zum Nenner und umgekehrt) und man hat die Aufgabe: Multiplikation zweier Bruchzahlen.

Auch hier wieder zur Lernerleichterung: Ganze Zahlen schreibe ich als Bruchzahlen, also statt: 3 schreibe ich 3/1.

Durch diesen kleinen Trick erspare ich mir das Lernen verschiedener Regeln.

Gemischte Zahlen

Hier kann es im Grunde nur eine grundlegende Entscheidung geben.

Mit Ausnahme der Addition wird eine gemischte Zahl grundsätzlich in eine Bruchzahl umgewandelt. Bei einer Addition ist dies nicht unbedingt nötig.

Beispiel Addition:

3 1/5 + 2 3/7 =

Hier kann man ohne Probleme erst die Ganzen zusammenfassen und kommt dann zu folgender Aufgabe: 3 + 2 + 1/5 + 3/7 = 5 + 1/5 + 3/7 = 5 + 7/35 + 15/35= 5 22/35

Bei den anderen 3 Operationen halte ich dieses Vorgehen für nicht empfehlenswert, da halte ich es für besser: Umwandeln – Ausrechnen – Zurückumwandeln:

Das Umwandeln geht auch recht einfach: "Die ganze Zahl mit dem dazugehörigen Nenner malnehmen und den Zähler addieren!"

Auf obiges Beispiel übertragen:

3x 5 + 1 = 16; 2x7+3 = 17

3 1/5 - 2 3/7 =

16/5 - 17/7 =

Hauptnenner: 35 (16 x 7) (17 x5)

112/35 – 85/35 = 27/35

Damit hat man eigentlich schon alles hinter sich gebracht, was das Bruchrechnen so ausmacht.

Es ist nicht schwer, erfordert aber ein wenig Übung und man muss ein Gespür für die Zahlen entwickeln.

Der Schritt vom konkreten Gegenstand hin zur abstrakten Bruchzahl ist ein extrem großer Schritt, den viele Kinder nicht schaffen und deswegen plädiere ich dafür die "Bildchen" bei der Einführung in die Bruchrechnung wegzulassen. Bildquelle: M. Großmann / pixelio.de