Prozente, Promille und Zinsen ganz locker, flockig rechnen

Üblicherweise lernen die Schüler folgendes Schema kennen:  

Das sieht doch so schön und übersichtlich aus. Das ist also das Prozentrechnen mit dem "vielberühmten Dreisatz".

Ich mag diesen Weg nicht, weil er

a)

im Prozentrechnen  drei verschiedene Rechenwege notwendig macht, je

nachdem welche Größe gesucht wird: Grundwert – Prozentsatz –   Prozentwert.

b)

im Zinsrechnen 12 verschiedene Rechenwege notwendig macht, weil der Grundwert – der Prozentwert – der Zinssatz (Prozentsatz) oder die Verzinsungsdauer (Jahre, Monate oder Tage) gesucht sein kann.

c)

im Promillerechnen 3 verschiedene Rechenwege notwendig sind, je nachdem was gesucht ist.

Das heißt, der Schüler bezahlt die angeblich so schöne Übersichtlichkeit mit der Notwendigkeit 18 verschiedene Rechenwege einüben zu müssen.

Das muss nicht sein.

Die einfachste Aufgabe ist diejenige bei der es heißt:

Die Stadt A hat 9 000 Einwohner. 17% der Einwohner sind älter als 55.

Wie viele Einwohner sind älter als 55?

Die Antwort wäre: 1 530 Einwohner sind älter als 55.

Der Grundwert waren die 9 000; der Prozentsatz war 17% ; der Prozentwert waren die 1 530.

Setze ich oben angeführte Rechenschritte um in eine "Beschreibung" würde diese Rechnung wie folgt aussehen.

Grundwert : 100 x Prozentsatz = Prozentwert.

Diesen Satz drehe ich jetzt einfach mal um:

Prozentwert =  Grundwert : 100 x Prozentsatz

Mit dieser "Formel" kann der Schüler eigentlich keinen Fehler mehr machen, was den Rechenweg betrifft. Er muss z.B.  aus einer Textaufgabe nur noch herausfinden, welche der drei Größen gegeben ist und diese an der richtigen Stelle in der Formel eintragen. Die ihm schon bekannten Regeln der Gleichungslehre und die Regeln des Bruchrechnens führen dann zu den richtigen Rechenschritten.

Setzen wir einmal die obigen Daten ein:

Ruckzuck wird gekürzt: unten zwei Nullen weg, oben zwei Nullen weg, die verbleibende 1 unten signalisiert: Der Zähler ist ein Ganzes, ich kann den Bruchstrich weglassen und habe nur noch folgende Aufgabe zu lösen:

Prozentwert = 90 x 17 = 1 530

Zinsrechnen

Das Zinsrechnen erweitert die Prozentrechnung nur um den Faktor: Zeit

Die Zeit kann in Jahren, Monaten oder Tagen angegeben werden, was unter Umständen wieder zu Problemen führen kann.

In der Zinsrechnung hat das Jahr grundsätzlich 360 Tage.

Der Schüler soll – theoretisch – immer den Zins für 1 Tag ausrechnen, er muss also den Zins für 1 Jahr durch 360 teilen. Das heißt: Er muss den Zins für 1 Jahr mit 1/360 malnehmen. Der veränderte Ansatz sieht dann so aus:

Vereinfacht geschrieben:

Mein Vorschlag ist der, dass die Zeit immer in Tagen anzugeben wird, aber nicht ausgerechnet, sondern als "Malaufgabe" (Multiplikationsaufgabe)

Warum wird man fragen, so umständlich?

Meine Überlegung ist die: Der Schüler soll sich möglichst wenige Rechenwege merken müssen.  Und anstelle von 3 die Malaufgabe 3 x 360 zu schreiben dürfte kein großes Problem sein.

Den Vorteil dieses – anscheinend umständlichen Vorgehens – zeige ich an 3 Varianten auf:  

Variante 1:  Der Schüler soll den Zins für 3 Jahre ausrechnen.

Die 360 stehen oben und unten und kürzen sich somit heraus. Sie fallen abgesehen von einem geringfügig höheren Schreibumfang nicht ins Gewicht. Er ist nach dieser Tätigkeit genau so weit, als hätte er jetzt tagelang das Ausrechnen von Zinsen für mehrere Jahre geübt.

Variante 2:  Der Schüler soll den Zins für 5 Monate ausrechnen. 

Die 30 kürzen sich gegen die 360 und es bleiben nur noch die 12 übrig.

Während der Schüler bei dem üblichen Vorgehen immer daran denken muss, dass er beim Ausrechnen der Monatszinsen erst durch 12 teilen muss, ergibt sich diese Teilung bei dem hier vorgestellten Ansatz automatisch.

Variante 3:   Der Schüler soll die Zinsen für 17 Tage ausrechnen.

Während der Schüler bei dem üblichen Vorgehen immer daran denken muss, dass er beim Ausrechnen der Tageszinsen erst durch 360 teilen muss, ergibt sich diese Teilung bei dem hier vorgestellten Ansatz automatisch.

Vielleicht wird Ihnen damit deutlich, welch ein hoher Grad der Automatisierung der manuellen Zinsberechnung damit erreicht werden kann und wenn man Dinge automatisch also quasi im Schlaf tut, wird die Fehlerhäufigkeit erheblich sinken.

Auf den Rechenweg hat es zwar keinen Einfluss, aber die Begriffe im Zinsrechnen lauten etwas anders:

Der Prozentwert heißt in der Zinsrechnung: Zinsen
Der Grundwert heißt Kapital oder Guthaben oder Darlehen.

Der Prozentsatz heißt Zinsfuß oder Zinssatz.

Nur damit deutlich wird, dass Prozentrechnung und Zinsrechnung – mit Ausnahme des Faktors Zeit  - identisch sind, habe ich die Änderung der Begriffe erst zum Schluss durchgeführt.

Damit Sie erkennen können, welch großer Vorteil in dieser Methode steckt, gebe ich eine Beispielsaufgabe:

Peter Großhändler hat 50 000 Euro übrig, die er zur Bank bringt. Nach 36 Tagen holt er sein Geld wieder ab. Die Bank zahlt ihm für 50 Euro Zinsen zusätzlich aus.

Was weiß der Schüler?

Zinsen: 50;  Kapital: 50 000 (Euro);  Zeit: 36 Tage

Was er nicht weiß und ausrechnen soll, ist der Zinssatz.

Er wendet die hier vorgestellte Methode an und setzt einfach ein:

Da der Schüler ja gut im Bruchrechnen ist, erkennt er sofort die Möglichkeiten, wie er kürzen kann und nutzt dies auch aus. X 1 kann immer wegbleiben!

Schritt 2:

Der Schüler sieht: unten sind drei Nullen (2 von 100, 1 von 10), oben sind bei

50 000 auch drei Nullen vorhanden, also nimmt er diese oben und unten weg.

Die 1 im Nenner kann immer wegbleiben und schon hat sich die Aufgabe zu einer sicherlich übersichtlichen Aufgabe vermindert.

50 = 50 x Zinssatz

Nach den Regeln der Gleichungslehre muss jetzt die 50 mit : (geteilt) auf die andere Seite.

Nun steht folgendes da:  50 : 50 = Zinssatz;  1 = Zinssatz. Da man den Zinssatz in % ausdrückt lautet sein Ergebnis: Der Zinssatz betrug 1% p.a..

Zum Vergleich der traditionelle Weg:
Zur besseren Übersicht schreibe ich die Aufgabe noch einmal hin:

Peter Großhändler hat 50 000 Euro übrig, die er zur Bank bringt. Nach 36 Tagen holt er sein Geld wieder ab. Die Bank zahlt ihm für 50 Euro Zinsen zusätzlich aus.

1.  Schritt:

50 : 36 =          (Es geht selbst mit Taschenrechner nicht auf, weil 50 nicht durch

                          3 teilbar ist; wer Lust hat kann es ja ausrechnen, ich jedenfalls
                          habe keine)

2. Schritt:

Ergebnis des 1. Schrittes mal 360 =          (siehe 1. Schritt)

3. Schritt:

Ergebnis des 2. Schrittes : 50 000 =          (siehe 1. Schritt)

4. Schritt:

Ergebnis des 3. Schrittes mal 100 =          (sollte gerundet 1 rauskommen)

Können Sie sich vorstellen, wie viele Fehler der Schüler auf diesem Wege machen kann?

Promillerechnung

Nur 3 kleine Änderungen:

Statt Prozentwert heißt es Promillewert.

Statt Prozentsatz heißt es Promillesatz.

Statt 100 heißt es 1000.

Ansonsten bleibt der Weg gleich.

Prozentrechnen:

Promillerechnen:

Mit der hier vorgeschlagenen Methode hat man aus 18 verschiedenen Rechenwegen einen einzigen gemacht.

Sowohl bei der hergebrachten Methode als auch bei dieser Methode muss der Schüler natürlich analysieren, was vorgegeben ist und was er ausrechnen soll.

Hat der Schüler diesen Schritt geschafft, sollte ihm bei der hier vorgestellten Methode kein Rechenwegfehler mehr passieren. Bildquelle: M. Großmann / pixelio.de