Logische und unmögliche Zahlen in der Mathematik
Zahlen helfen der Wissenschaft, Zusammenhänge von Vorgängen zu beschreiben. Doch trotz ihrer Logik sind viele von ihnen unergründlich.Pi – Die unendliche Kreiszahl
Pi ist das Ergebnis eines Kreisumfangs geteilt durch den Wert seines Durchmessers, und lautet 3,14159. Doch diese Zahl ist nur jene, mit der wir im Alltag rechnen. In Wirklichkeit reichen die Nachkommastellen bis in die Unendlichkeit – derzeit sind 1,2 Billionen Ziffern nach dem Komma bekannt. Würde man einen Computer weiter rechnen lassen, hätte das zur Folge, dass uns auch nach Milliarden von Jahren nur ein Bruchteil von Pi bekannt wäre.
Will der Mensch eine Kreisfläche berechnen, multipliziert er Radius mit Radius und dann noch einmal mit Pi. Da Pi aber unendlich ist, erhält man nie ein exaktes Ergebnis – es bleibt unklar, welche Größe der Kreis tatsächlich hat.
Phi – Die Zahl der Schönheit und Perfektion
Mit der irrationalen Zahl Phi, deren Wert ungefähr 1,61803 lautet, lassen sich perfekte Proportionen gestalten. Ein Beispiel hierfür ist Leonardo da Vincis berühmter "Vitruvianischer Mensch". Doch auch in seinem Gemälde "Mona Lisa" sind mehrere goldene Schnitte verborgen. Sogar auf Urlaubsfotos oder Zeichnungen findet sich der auf Phi basierende goldene Schnitt wieder, da der Mensch ein unbewusstes Verständnis für Bildverhältnisse besitzt. So ist der Abstand vom Horizont zum oberen und unteren Bildrand im Verhältnis so angelegt, dass man Phi erhält – nämlich dann, wenn der größere Abstand durch den kleineren geteilt wird.
Auch die Natur kennt die goldene Zahl, denn mit ihr werden perfekte Spiralen geschaffen, was an Schneckenhäusern zu erkennen ist. Ein durch Phi verursachter goldener Winkel lässt sich auch bei der Anordnung von Sonnenblumenkernen in einer Blüte oder der Blütenblätter einer Rose feststellen. Gezielter spricht man hier von der sogenannten Fibonacci-Spirale. Dass die Blätter gerade so angeordnet sind, hat nicht hauptsächlich etwas mit Schönheit zu tun, sondern eher damit, optimales Sonnenlicht einfangen zu können.
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Die Null – Basis für ein funktionierendes Finanzsystem
Sie ist weder positiv noch negativ: die Null. Dennoch ist sie nicht wegzudenken, da mit ihr eine funktionierende Buchhaltung möglich ist. Mit der Null können nicht nur große Zahlen dargestellt werden, sondern durch ihre Stellung als Zählbasis lassen sich auch Negativbeträge angeben. Somit können Schulden vermerkt werden, für die man Zinsen verlangen kann.
Seit der Spätantike verbreitete sich die Null als mathematischer Wert nur allmählich, da sehr wenige Gelehrte Einsichten in die Mathematik – damals noch Geheimwissenschaft – hatten. Erst um 1202 wurde die neutrale Zahl in Europa eingeführt, nämlich durch Leonardo Fibonacci.
Die irrationalen Zahlen
Für den griechischen Mathematiker Hippasos war die Suche nach einer Zahl, die mit sich selbst multipliziert werden kann, um 2 zu erhalten, tödlich. Der Grund war, dass die Pythagoräer eine nur annähernd genaue Zahl nicht akzeptieren wollten. Aus diesem Grunde ertränkten die Anhänger von Pythagoras' Zahlenreligion, welche an die Harmonie der Zahlen sowie ihrer Logik glaubten, den Mann, der aus heutiger Sicht die Wurzel aus 2 meint.
Und tatsächlich ist 1,4142135 nur ein annähernder Wert, mit welchem wir heute rechnen, denn diese irrationale Zahl ist unendlich – sie kann nie perfekt berechnet werden. Für die Größenverhältnisse auf der Erde reicht der Wert, den der Taschenrechner uns anzeigt, wie zum Beispiel der Burj Khalifa beweist. Für die Architekten und Ingenieure dieses Bauwerks nämlich, spielten irrationale Zahlen immer wieder eine Rolle. Dennoch scheint es unbegreiflich, wie wir mit Zahlen arbeiten können, die selbst Mathematiker niemals komplett verstehen werden. Erstaunlich zugleich ist aber auch die Feststellung, dass es mehr irrationale Zahlen gibt als normale. – Das Paradoxe daran: Selbst normale Zahlen sind unendlich vorhanden.
Von der Musik zur Bruchrechnung
Erst durch das Studium von Musik und Mathematik erkannte Pythagoras die engeren Zusammenhänge beider Fachgebiete. Er stellte fest, dass harmonische Tonfolgen zustande kommen, sobald man die gespannte Saite eines Musikinstrumentes in bestimmten Verhältnissen zueinander gliedert. Die Erkenntnis darüber übertrug Pythagoras auf Zahlen und zerlegte zum Beispiel die Eins in kleinere Teile – die Bruchrechnung war geboren.
Als Pythagoras erkannte wie wichtig Mathematik als ein Mittel ist, um die Welt zu beschreiben und zu verstehen, machte er die Mystik der Zahlen zur Basis einer Religion. Anhänger hatte sie im antiken Griechenland wie auch Italien.
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Bildquelle:
johannes flörsch
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Karin Scherbart
(Wie macht man einen Regenbogen selbst?)
