Statistik 101 - Statistische Kennzahlen leicht gemacht

Statistische Kennzahlen - Modus, Median, arithmetisches Mittel, Spannweite, Standardabweichung und Variationskoeffizient.

Statistik ist die Wissenschaft der Auswertung und Interpretation von Daten unter der Berücksichtigung von Messfehlern, Verzerrungen, Schwerpunkten, Gewichten und dergleichen. Die statistischen Kennzahlen sind hierfür wichtige Werkzeuge der Interpretation und Analyse des vorhandenen statistischen Datenmaterials.

Modus

Der Modus (auch Modalwert) ist bei einer wissenschaftlichen Häufigkeitsverteilung der am häufigsten angegebene Wert der Verteilung. In einer Gruppe von Schülern hat einer eine 1, drei Schüler eine 2, und zwei Schüler eine 4, und ein Schüler eine hat eine 3. In diesem Fall wäre der Modus die Note 2, da die meisten Schüler eine 2 hatten. Aussagewert: Die meisten Schüler haben eine 2.

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Median

Der Median (auch Zentralwert, Durchschnitt) teilt eine geordnete Erhebung im Zentrum in zwei Hälften. Es ist der Mittelpunkt unterhalb und oberhalb dessen jeweils die Hälfte der Werte liegen. Bei der oben genannten Schülergruppe wäre der Median 2, da bei sieben Schülern (1,2,2,2,3,4,4) die Mitte an der 4. Stelle steht. Bei einer geraden Schülerzahl ist die Berechnung unterschiedlich. Acht Schüler (x=8) haben folgende Noten 1,2,2,2,3,3,4 und 4. Schüler unterhalb der Mitte x/2=4, Schüler oberhalb der Mitte (x+2)/2=5, und das Ergebnis ist (Note 4. Schüler + Note 5. Schüler)/2=(2+3)/2=2.5. Aussagewert: Mindestens die Hälfte der Schüler hat eine 2.5 erreicht.

Arithmetisches Mittel

Das Arithmetische Mittel (auch Mittelwert, Durchschnitt) ist das Verhältnis aus der Summe der erhobenen Werte und der Anzahl der erhobenen Werte. Im Fall der Schülergruppe die Summe der Noten 1+2+2+2+3+4+4=18 geteilt durch die Summe der Schüler 1+3+2=7 ergibt 18/7=~2.6. Aussagewert: Der Notendurchschnitt der erhobenen Schülergruppe ist 2.6. (Anmerkung: Aus Schulnoten Mittelwerte zu bilden ist formal nicht korrekt, aber gang und gäbe.)

Spannweite

Die Spannweite, das einfachste Streuungsmaß, ist die Differenz zwischen dem höchsten und den niedrigsten Wert der erhobenen Daten. Die Schüler sind 10,13,14 und 17 Jahre alt. 17 minus 10 ergibt 7, womit die Spannweite 7 ist. Aussagewert: Der Altersunterschied zwischen dem jüngsten und dem ältesten der befragten Schüler beträgt 7 Jahre.

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Standardabweichung

Die Standardabweichung bezeichnet den Grad der Abweichung vom Mittelwert. Sie wird berechnet aus der Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz wird berechnet aus Note minus Mittelwert zum Quadrat für jeden Schüler geteilt durch die Gesamtzahl der Schüler. ((1-2.6)^2+(2-2.6)^2+(2-2.6)^2+(2-2.6)^2+(3-2.6)^2+(4-2.6)^2+(4-2.6)^2)/7 also 2.56+0.36+0.36+0.36+0.16+1.96+1.96=7.72/7=~1.1 Die Varianz ist rund 1.1. Daraus zieht man die Quadratwurzel und erhält das Ergebnis ~1.05. Aussagewert: Die Schulnoten der erhobenen Schülergruppe weichen ~1.05 Notengrade vom Mittelwert ab.

Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient gibt die Standardabweichung bezogen auf den Mittelwert an und wird meistens in Prozent angegeben. Er wird berechnet mittels Standardabweichung geteilt durch Mittelwert (mal hundert, so er in Prozent angegeben wird). Im Fall der Schülergruppe 1.05/2.6*100=40,4 Prozent. Der Variationskoeffizient trifft genauere Aussagen auf die Streuung der Verteilung als die Standardabweichung, da er auf Veränderungen der Daten sensibler reagiert. Aussagekraft: Die Notengrade der Schüler weichen 40,4% vom Mittelwert ab.

Fazit

Die dargestellten Kennzahlen sind nur eine kleine Auswahl der am häufigsten genutzten Kennzahlen und es wurde versucht die dargelegten Kenngrößen der Statistik auf vereinfachte Weise den werten LeserInnen darzustellen und zu erklären.

Quelle: Übungen Statistik I & II für SoziologInnen, facultas 2010